TEORIA DEI NUMERI - NUMERI PRIMI - PRIME NUMBERS

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RESIDUI QUADRATICI

2009-11-03T06:22:00.000-08:00

Il resto della divisione di un quadrato esatto per un numero primo P si chiama RESIDUO QUADRATICO di P. Ad esempio 64 (8x8) diviso per 29 (numero primo) fa 2 con resto 6, allora potremo dire che 6 è un residuo quadratico di P.
Tutti i numeri primi P hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici. Riconsiderando il nostro numero primo 29, avremo:
Residui quadratici di 29:
1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28. (14 residui).
Non residui quadratici di 29:
2,3,8,10,11,12,14,15,17,18.19.21.26,27. (14 non residui).
Esiste un metodo per verificare se un numero intero qualsiasi sia residuo o non residuo quadratico di un numero primo P: si calcola il resto della divisione per P di questo numero elevato a (P-1)/2. Se questo resto è 1, allora il numero è residuo quadratico di P; se questo resto è (P-1), allora questo numero è un non residuo quadratico di P.
Ad esempio, il resto della divisione per 29 di 2 elevato alla 14 è 28, per cui 2 è non residuo quadratico di 29. Invece il resto della divisione per 29 di 5 elevato alla 14 è 1, per cui 5 è un residuo quadratico di 29.
Tutti i numeri primi si dividono in due grandi famiglie: quelli della forma 4n+1 e quelli della forma 4n+3.
Ad esempio 29 è della forma 4n+1 perchè 29 = 4x7 + 1, mentre 43 è della forma 4n+3 perchè 43 = 4x10 + 3. Orbene, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà anche un suo residuo quadratico. Invece, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà un suo non residuo quadratico.
Per esempio 5 è un residuo quadratico di 29 (4x7 + 1), per cui (29-5) = 24 sarà anch'esso un residuo quadratico di 29.
Da questa proprietà deriva il fatto che, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora è esprimibile in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, mentre, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora non sarà mai esprimibile come somma di due quadrati esatti.
Una delle scoperte più affascinanti della Matematica è la legge della reciprocità quadratica. Essa afferma che le caratteristiche quadratiche di due numeri primi P e Q sono eguali tranne nel caso che i due numeri siano entrambi della forma 4n+3.
Ad esempio 13 è residuo quadratico di 29, allora anche 29 è residuo quadratico di 13, perchè sono entrambi della forma 4n+1. 19 è un non residuo quadratico di 43, allora 43 è un residuo quadratico di 19 perchè sono entrambe della forma 4n+3. 29 è un residuo quadratico di 83, allora 83 è un residuo quadratico di 29 perchè non sono entrambi della forma 4n+3.
"La Matematica è la regina delle scienze e la Teoria dei numeri è la regina delle Matematiche" (Carl Friedrich Gauss).
Su questo sito si rovano programmi gratis eseguibili per windows su questi ed altri argomenti:
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NUMERI PERFETTI - NUMERI DI MERSENNE - NUMERI AMICI

2009-07-25T09:47:00.000-07:00

UN NUMERO SI DICE PERFETTO QUANDO E’ EGUALE ALLA SOMMA DI TUTTI I SUOI DIVISORI PROPRI (CIOE’ ESCLUSO SE STESSO).
AD ESEMPIO 28 E’ DIVISIBILE PER 1,2,4,7,14 E RISULTA:
1+2+4+7+14 = 28.
I NUMERI PERFETTI SONO PIUTTOSTO RARI E PARE CHE SIANO TUTTI NUMERI PARI.
NON E’ PERO’ STATO ANCORA DIMOSTRATO CHE NON ESISTONO NUMERI PERFETTI DISPARI. NON SI SA NEANCHE SE IL LORO NUMERO SIA INFINITO.
GIA’ GLI ANTICHI GRECI CONOSCEVANO 4 NUMERI PERFETTI: 6, 28, 496 E 8128.
IL 5° NUMERO PERFETTO FU SCOPERTO NEL XV° SECOLO ED E’ 33550336.
NEL XVII° SECOLO IL MATEMATICO ITALIANO PIERANTONIO CATALDI SCOPRI’ IL 6° ED IL 7° NUMERO PERFETTO. NEL ‘900 IL NUMERO DEI NUMERI PERFETTI CONOSCIUTI ARRIVO’ A 12. IL 12° (UN NUMERO DI 77 CIFRE!) FU SCOPERTO, USANDO SOLO CARTA E PENNA, DAL MATEMATICO EDOUARD LUCAS NEL 1877.
ATTUALMENTE SONO CONOSCIUTI 39 NUMERI PERFETTI. IL 39° HA PIU’ DI 4 MILIONI DI CIFRE .
UNA NOTEVOLE PROPRIETA’ DEI NUMERI PERFETTI E’ CHE, TRANNE IL 6, SONO TUTTI SOMMA DI NUMERI DISPARI CONSECUTIVI ELEVATI AL CUBO:

28 = 1³ + 3³
496 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³
8128 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³ + 9³ + 11³ + 13³ + 15³

EUCLIDE NEL 300 AVANTI CRISTO DIMOSTRO’ IL SEGUENTE TEOREMA
(IL SIMBOLO ^ INDICA “ELEVATO A”)

SE 2^(n) - 1 E’ UN NUMERO PRIMO, ALLORA IL NUMERO [2^(n-1)]*[2^(n) -1] E’ UN NUMERO PERFETTO.

PER ESEMPIO, PER n = 3, SI HA:

2^(n) – 1 = 2³ – 1 = 8 – 1 = 7 = NUMERO PRIMO,

ALLORA:

[2^(n-1)]*[2^(n) -1] = [2²] * [2³ - 1] = 4 * 7 = 28 = NUMERO PERFETTO.

PER QUANTO DETTO ASSUMONO GRANDE IMPORTANZA I NUMERI PRIMI DELLA FORMA P = 2^(n) -1. QUESTI NUMERI VENGONO CHIAMATI “NUMERI DI MERSENNE”.
DUNQUE I NUMERI DI MERSENNE SONO I NUMERI PRIMI DELLA FORMA:

M = 2^n - 1

MARIN MERSENNE ERA UN TEOLOGO, FILOSOFO E MATEMATICO FRANCESE VISSUTO FRA IL 1588 ED IL 1648 ED APPARTENEVA ALL’ORDINE DEI FRATI MINORI. EGLI INSEGNO’ FILOSOFIA A NEVERS, MA POI RIENTRO’ A PARIGI DOVE SI DEDICO’ ALLA MATEMATICA ED EBBE CONTATTI CON CARTESIO E PASCAL.
EGLI SCOPRI’ LA NOTEVOLE PROPRIETA’ CHE:

SE 2^n – 1 E’ UN NUMERO PRIMO, ALLORA n E’ UN NUMERO PRIMO. SI BADI BENE, PERO’, CHE SE n E’ UN NUMERO PRIMO, CIO’ NON GARANTISCE AFFATTO CHE 2^n - 1 SIA UN NUMERO PRIMO.
I PRIMI NUMERI DI MERSENNE SONO:

M2 = 2^2 – 1 = 3
M3 = 2^3 – 1 = 7
M5 = 2^5 - 1 = 31
M7 = 2^7 – 1 = 127
M13 = 2^13 – 1 = 8191

I SUCCESSIVI NUMERI DI MERSENNE SONO:

M17, M19, M31, M61, M89, M107, M127 ………

ESISTE UNA ORGANIZZAZIONE INTERNAZIONALE CHE RICERCA I NUMERI DI MERSENNE: LA GIMPS. ESSA SI AVVALE DI RICERCATORI IN TUTTO IL MONDO E CHIUNQUE PUO’ PARTECIPARE (LA GIMPS METTE A DISPOSIZIONE UN APPOSITO SOFTWARE).
UN AGGIORNAMENTO DEL SETTEMBRE 2008 CI DICE CHE SONO STATI SCOPERTI IL 45° ED IL 46°NUMERO DI MERSENNE.

I PRIMI NUMERI DI MERSENNE SONO:

M2 = 2^2 – 1 = 3
M3 = 2^3 – 1 = 7
M5 = 2^5 - 1 = 31
M7 = 2^7 – 1 = 127
M13 = 2^13 – 1 = 8191

I SUCCESSIVI NUMERI DI MERSENNE SONO:

M17, M19, M31, M61, M89, M107, M127 ………

ESISTE UNA ORGANIZZAZIONE INTERNAZIONALE CHE RICERCA I NUMERI DI MERSENNE: LA GIMPS. ESSA SI AVVALE DI RICERCATORI IN TUTTO IL MONDO E CHIUNQUE PUO’ PARTECIPARE (LA GIMPS METTE A DISPOSIZIONE UN APPOSITO SOFTWARE).
UN AGGIORNAMENTO DEL SETTEMBRE 2008 CI DICE CHE SONO STATI SCOPERTI IL 45° ED IL 46°NUMERO DI MERSENNE.

A QUESTO PUNTO E’ DOVEROSO UN CENNO SUI NUMERI AMICI:
I NUMERI AMICI (DETTI ANCHE NUMERI AMICABILI) SONO QUELLE COPPIE DI NUMERI INTERI TALI CHE LA SOMMA DEI DIVISORI PROPRI DELL’UNO E’ UGUALE ALL’ALTRO E VICEVERSA.
LA PIU’ PICCOLA COPPIA DI NUMERI AMICABILI E’ 220 – 284, INFATTI:
DIVISORI DI 220 = 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 E LA LORO SOMMA E’ 284
DIVISORI DI 284 = 1, 2, 4, 71, 142 E LA LORO SOMMA E’ 220.
ALTRE COPPIE DI NUMERI AMICI SONO:
1184 – 1210
2620 – 2924
5020 – 5564

SUL SITO;

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SI TROVANO MOLTI PROGRAMMI ESEGUIBILI PER WINDOWS DEDICATI A QUESTI ARGOMENTI.

I NUMERI DI FIBONACCI

2009-07-09T05:09:00.000-07:00

I NUMERI DI FIBONACCI:

LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI FU STUDIATA PER LA PRIMA VOLTA NEL 1200 DAL MATEMATICO LEONARDO DA PISA DETTO FIBONACCI (FILIUS BONACCI). IL PADRE ERA UN FACOLTOSO COMMERCIANTE ED EGLI SOGGIORNO’ A LUNGO IN ALGERIA COL PADRE DOVE EBBE MOLTI CONTATTI CON I MATEMATICI ARABI.
PER COSTRUIRE LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI, SI PONGONO I PRIMI DUE TERMINI F1 = 1 ED F2 =1. OGNI TERMINE SUCCESSIVO SARA’ LA SOMMA DEI DUE TERMINI CHE LO PRECEDONO, COSI’ F3 = 2 , F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8 E COSI’ VIA. I PRIMI NUMERI DI FIBONACCI SARANNO:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …….

UNA PROPRIETA’ NOTEVOLISSIMA DI QUESTI NUMERI. E’ CHE IL RAPPORTO F(n+1)/Fn , AL CRESCERE DI n TENDE AL NUMERO 1.61803398874989. QUESTO NUMERO E’ CHIAMATO LA “SEZIONE AUREA” ED IL SUO VALORE E’:
(IL SIMBOLO sqr() INDICA LA RADICE QUADRATA)

(1 + sqr(5))/2 = 1,61803398…..

AD ESEMPIO F31/F30 = 1346269/832040 = 1,618033989

NEL PARTENONE DI ATENE IL RAPPORTO TRA LA BASE E L’ALTEZZA DELLA FACCIATA E’ PROPRIO LA SEZIONE AUREA!
I NUMERI DI FIBONACCI GODONO DI TANTE INTERESSANTISSIME PROPRIETA’, MA QUESTO ARTICOLO HA SOLO LO SCOPO DI INVOGLIARE IL LETTORE VERSO QUESTO TIPO DI STUDI.

TERNE PITAGORICHE

2009-07-09T05:03:00.000-07:00

TERNE PITAGORICHE

SE A,B,C SONO TRE NUMERI INTERI, ALLORA SI DICE CHE FORMANO UNA TERNA PITAGORICA SE:

A² + B² = C²

ESEMPI:

3² + 4² = 5² (25 = 25)
5² + 12² = 13² (169 = 169)
28² + 45² = 53² (2089 = 2089)

PER COSTRUIRE UNA QUALSIASI TERNA PITAGORICA A² + B² = C², BASTA APPLICARE LA FORMULA:

A = M² - N²
B = 2*M*N
C = M² + N²

CON M ED N NUMERI INTERI ED M > N.

AD ESEMPIO, CON M = 5 ED N = 2 SI OTTIENE:

A = 25 – 4 = 21
B = 2*5*2 = 20
C = 25 + 4 = 29

INFATTI:

21² + 20² = 441 + 400 = 841 = 29²

LA TERNA SARA’ :

21² + 20² = 29²

P = x^2 + y^2

2009-07-09T04:56:00.000-07:00

EQUAZIONE P = x² + y² con P numero primo ed x ed y numeri interi positivi.

Possiamo dividere i numeri primi in due grandi famiglie: quelli della forma 4n + 1 e quelli della forma 4n + 3. I primi possono essere rappresentati in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, i secondi in nessun modo. Ad esempio il numero primo 89 è della forma 4n + 1, infatti 89 = 4*22 + 1. Esso è esprimibile in un solo modo come somma di due quadrati esatti, infatti 89 = 5² + 8². Il numero 71 invece è della forma 4n + 3 (71 = 4*17 +3) e non può essere rappresentato in nessun modo come somma di due quadrati esatti.

Per risolvere l’equazione diofantea P = x² + y² bisogna prima risolvere la congruenza:

z² ≡ -1 (mod. P). (1)

Questa congruenza ha soluzioni solo se P è della forma 4n + 1. Le soluzioni sono due e, se le chiamiamo A e B, sono tali che A + B = P.

Ad esempio se P = 29, le due soluzioni della congruenza sono 12 e 17, infatti:

12² + 1 = 145 divisibile per 29

17² + 1 = 290 divisibile per 29

Inoltre 12 + 17 = 29

Nelle considerazioni che seguono assumiamo che P sia sempre un numero primo della forma 4n + 1.

Una soluzione della (1) è data da:

A = ((p-1)/2)! Modulo P dove ! è il simbolo del fattoriale (es. 7! = 7*6*5*4*3*2*1).

Ad esempio se p = 29 si ha:

14! = 87178291200

Il resto della divisione di 87178291200 per 29 è 12 che è una soluzione della (1). L’altra soluzione si trova facilmente: B = P – A = 29 – 12 = 17.

Una soluzione della (1) che coinvolge numeri un po’ meno grandi è:

t^((p-1)/4) Modulo P

dove t è un qualsiasi non residuo quadratico di P ed il simbolo ^ indica elevato a.

sempre nel caso di P = 29, un suo non residuo quadratico è 2. avremo:

2^7 = 128

Il resto della divisione di 128 per 29 è anche qui 12.

Ricordiamo che un residuo quadratico di un numero primo P è il resto della divisione di un quadrato esatto per P e che tutti i numeri primi hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici.

Una volta trovate le soluzioni A e B della (1) si può facilmente risolvere l’ equazione P = x² + y² procedendo in questo modo:

Sia A il maggiore tra A e B. Si calcola il resto R della divisione di A per B. Se R*R< P, allora l'equazione è già risolta:

x = R ; y = sqr(P- R*R) (sqr indica la radice quadrata).

Se invece R*R > P allora bisogna reiterare il processo: si calcola il resto della divisione di B per R e così via.

Facciamo un esempio pratico:

Si vuole risolvere l’equazione diofantea 241 = x² + y².

241 = 4*60 + 1 quindi l’equazione ha soluzioni.

Dobbiamo risolvere la congruenza:

z² ≡ -1 modulo P

Usando il primo metodo, una soluzione sarà:

((P-1)/2)! Modulo P:

120! Modulo P = 64.

L’altra soluzione sarà:

241 – 64 = 177

Usando il secondo metodo, essendo 7 un non residuo quadratico di 241, si avrà:

7^((P-1)/4) modulo p = 7^60 modulo P = 177

L’altra soluzione sarà 241 – 177 = 64

Dunque le due soluzioni sono 64 e 177.

Possiamo ora procedere col metodo delle divisioni successive:

Il resto della divisione di 177 per 64 è 49.

49*49 >241

Il resto della divisione di 64 per 49 è 15

15*15 = 225 < 241

Allora:

x = 15

y = sqr(241 – 15*15) = sqr(241 – 225) = sqr(16) = 4

Dunque:

241 = 4² + 15²

Infatti:

4² + 15² = 16 + 225 = 241

Per chi fosse allergico a congruenze, residui e non residui quadratici vediamo in pratica come risolvere l’equazione diofantea P = x² + y² con P numero primo della forma 4n + 1 ed x ed y numeri interi:

Si calcoli ((P-1))/2)! e lo si divida per P. Sia A il resto di questa divisione. Sia B = P-A.

Sia A il maggiore tra A e B. Si calcola il resto R della divisione di A per B. Se R*R< P, allora l'equazione è già risolta:

x = R ; y = sqr(P- R*R) (sqr indica la radice quadrata).

Se invece R*R > P allora bisogna reiterare il processo: si calcola il resto della divisione di B per R e così via.

Attenzione che se P non è della forma 4n +1 (P = 4n + 3) l’equazione non ha soluzioni ed il metodo darebbe quindi risultati sballati!

Il problema è che ((P-1)/2)! È un numero enorme, allora conviene procedere così:

Si può calcolare direttamente il resto della divisione di ((p-1)/2)! Per P:

Si comincia a calcolare 1*3*4*5….. fino a che il suo valore supera P. Appena questo valore ha superato P si calcola il resto R della divisione per P. Poi si ricomincia a calcolare il fattoriale senza i termini già calcolati partendo da R:

R*m*(m+1)*(m+2)…. E non appena questo valore ha superato P, ci si ferma e si calcola il resto della divisione per P e così via.

Esempio: si calcoli il resto della divisione di ((29-1)/2)! Per 29:

1*2*3*4*5 = 120>29

Il resto della divisione di 120 per 29 è 4.

4*6*7 = 168>29

Il resto della divisione di 168 per 29 è 23.

23*8 = 184>29

Il resto della divisione di 184 per 29 è 10.

10*9 = 90 > 29

Il resto della divisione di 90 per 29 è 3.

3*10 = 30>29

Il resto della divisione di 30 per 29 è 1.

1*11*12 = 132>29

Il resto della divisione di 132 per 29 è 16.

16*13 = 208>29

Il resto della divisione di 208 per 29 è 5.

5*14 = 70>29

Il resto della divisione di 70 per 29 è 12.

In definitiva il resto della divisione di 14! Per 29 sarà 12, come già visto precedentemente.

Ovviamente questi calcoli non si fanno manualmente. Sul sito vi sono molti programmi da scaricare che fanno queste operazioni.

TEORIA DEI NUMERI - NUMERI PRIMI

2009-06-29T09:20:00.000-07:00

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NUMERI PRIMI: SONO I NUMERI INTERI DIVISIBILI SOLO PER SE STESSI E PER L'UNITA', ESSI SONO IN NUMERO INFINITO.

NUMERI PRIMI GEMELLI: SONO LE COPPIE DI NUMERI PRIMI SEPARATI SOLO DA UN NUMERO. ES: 71 - 73.

CONGETTURA DI GOLDBACH: OGNI NUMERO PARI E' SEMPRE ESPRIMIBILE COME SOMMA DI DUE NUMERI PRIMI.

FUNZIONI GENERATRICI DI NUMERI PRIMI: LA PIU' NOTA E' LA POLINOMIALE X^2 + X + 41 CHE, PONENDO AL POSTO DI X I NUMERI INTERI DA 0 A 39, GENERA 40 NUMERI PRIMI CONSECUTIVI.

FATTORI PRIMI: OGNI NUMERO E' ESPRIMIBILE IN UN SOLO MODO COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI. ES: 105 = 3*5*7 E NON E' ESPRIMIBILE IN NESSUN ALTRO MODO COME PRODOTTO DI NUMERI PRIMI.

DIVISORI: SONO TUTTI I NUMERI PER CUI UN INTERO E' DIVISIBILE. ES: I DIVISORI DI 105 SONO. 1,3,5,7,15,21,35.

NUMERI ABBONDANTI E DEFICIENTI: UN NUMERO E' ABBONDANTE SE E' INFERIORE ALLA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI. AL CONTRARIO E' DEFICIENTE. ES: 20 E' ABBONDANTE PERCHE' LA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI E' 22. 50 E' DEFICIENTE PERCHE' LA SOMMA DEI SUOI DIVISORI PROPRI E' 43.

NUMERI PERFETTI: SONO I NUMERI UGUALI ALLA SOMMA DEI LORO DIVISORI PROPRI. ES. 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ESSI SONO PIUTTOSTO RARI.

NUMERI AMICI: SONO CIASCUNO LA SOMMA DEI DEIVISORI DELL'ALTRO. LA PIU' PICCOLA COPPIA DI NUMERI AMICI E' 220 - 284.

SERIE DI FIBONACCI: OGNI TERMINE DELLA SERIE E' LA SOMMA DEI DUE CHE LO PRECEDONO ED I PRIMI DUE TERMINI SONO 1 1 PER CUI I NUMERI DI FIBONACCI SONO 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144...... ESSI GODONO DI NOTEVOLI PROPRIETA'

EQUAZIONI DIOFANTEE: UN'EQUAZIONE DIOFANTEA DI PRIMO GRADO HA LA FORMA A*X + B*Y = C, CON A,B,C NUMERI INTERI. LA SOLUZIONE (X,Y) DEVE ESSERE UNA COPPIA DI NUMERI INTERI.
ES: UNA SOLUZIONE DELL'EQUAZIONE DIOFANTEA 3*X + 5*Y = 61 E' X = 7, Y = 8. ESISTONO EQUAZIONI DIOFANTEE DI GRADO SUPERIORE AL PRIMO.

TERNE PITAGORICHE: SONO LE TERNE DI NUMERI INTERI A,B,C TALI CHE A^2 + B^2 = C^2. ES: 3^2 + 4^2 = 5^2

FATTORIALE DI N: E' IL PRODOTTO DEI PRIMI NUMERI INTERI FINO AD N COMPRESO E SI INDICA CON N! ES: 6! = 1*2*3*4*5*6 = 720.

SERIE DI COLLATZ: DATO UN NUMERO INTERO INIZIALE N, IL TERMINE SUCCESSIVO SARA' N/2 SE N E' PARI, 3*N+1 SE N E' DISPARI. LA SERIE DI COLLATZ GIUNGE SEMPRE AD 1. ES: PARTENDO DA 20, SI OTTIENE: 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

PHI(N) FUNZIONE DI EULERO: E' IL NUMERO DEI NUMERI CHE NON HANNO DIVISORI COMUNI CON N. ES: PHI (20) = 8.

NEXTPRIME (N): E' IL NUMERO PRIMO PIU' PICCOLO SUCCESSIVO AD N. ES. NEXTPRIME(90) = 97

PALINDROMO: E' UN NUMERO CHE HA LO STESSO VALORE SE LETTO SIA DA SINISTRA CHE DA DESTRA. ES: 41814.

CONGRUENZA: SI DICE CHE A E' CONGRUO A B MODULO C SE B E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DI A PER C. ES: 500 E' CONGRUO A 7 MODULO 29 PERCHE' LA DIVISIONE DI 500 PER 29 DA PER RESTO 7.

NUMERI DI SOPHIE GERMAIN: SONO QUELLE COPPIE DI NUMERI TALI CHE SIA P CHE 2*P + 1 SONO NUMERI PRIMI. ES: 11 - 23.

P = X^2 + Y^2: I NUMERI PRIMI SI DIVIDONO IN DUE GRANDI FAMIGLIE, QUELLI CHE DIVISI PER 4 DANNO RESTO 1 (P = 4*X+1) E QUELLI CHE DIVISI PER 4 DANNO RESTO 3 (P = 4*X+3). I PRIMI SONO ESPRIMIBILI IN UN SOLO MODO COME SOMMA DI DUE QUADRATI ESATTI, I SECONDI IN NESSUN MODO.

RESIDUI QUADRATICI DI UN NUMERO PRIMO: UN RESIDUO QUADRATICO DI UN NUMERO PRIMO E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DI UN QUADRATO ESATTO PER IL NUMERO PRIMO. ES. 20 E' UN RESIDUO QUADRATICO DEL NUMERO PRIMO 29 PERCHE' E' IL RESTO DELLA DIVISIONE DEL QUADRATO ESATTO 49 (7*7) PER 29. UN NUMERO PRIMO P HA (P-1)/2 RESIDUI QUADRATICI E (P-1)/2 NON RESIDUI QUADRATICI.

INVERSO DI A MODULO P: IL NUMERO B SI DICE INVERSO DI A MODULO P SE A*B E' CONGRUO AD 1 MODULO P. ES: L'INVERSO DI 7 MODULO 13 E' 2.

PICCOLO TEOREMA DI FERMAT: SE P E' UN NUMERO PRIMO ALLORA PER TUTTI GLI A PRIMI CON P E' VERO CHE A^(P-1) E' CONGRUO AD 1 MODULO P.

GRANDE TEOREMA DI FERMAT: L'EQUAZIONE DIOFANTEA A^N + B^N = C^N HA SOLUZIONI SOLO PER N = 2 (TERNE PITAGORICHE).

TEOREMA DI WILSON: SE P E' UN NUMERO PRIMO, ALLORA (P-1)! E' CONGRUO A P-1 MODULO P.

SEQUENZE ALIQUOT: IN UNA SEQUENZA ALIQUOT OGNI NUMERO E' LA SOMMA DEL NUMERO DEI DIVISORI DEL NUMERO CHE LO PRECEDE. SI POSSONO VERIFICARE 4 CASI: 1)LA SEQUENZA TERMINA CON 1. 2) LA SEQUENZA TERMINA CON IL NUMERO INIZIALE (SEQUENZA ALIQUOT). 3) LA SEQUENZA E' COSTITUITA DA 2 SOLI NUMERI (NUMERI AMICI). 4) LA SEQUENZA E' COSTITUITA DA UN SOLO NUMERO (NUMERO PERFETTO). LA PIU' PICCOLA SEQUENZA ALIQUOT E' 12496 - 14288 - 15472 - 14536 - 14264 - 12496.

FRAZIONI EGIZIANE: UNA FRAZIONE PUO' ESSERE SEMPRE ESPRESSA COME SOMMA DI FRAZIONI TUTTE CON NUMERATORE 1. ES: 13/19 = 1/2 + 1/6 + 1/57.

EQUAZIONE DI PELL: E' L'EQUAZIONE DIOFANTEA Y^2 - N*X^2 = -1 O Y^2 -N*X^2 = +1. ES: PER N = 13 LA PRIMA HA MINIMA SOLUZIONE (Y=18,X=5), LA SECONDA (Y=649,X=180).

SERIE PALINDROMICHE: SI PARTE DA UN NUMERO INTERO. GLI SI SOMMA IL NUMERO LETTO DA DESTRA VERSO SINISTRA. SUL NUMERO OTTENUTO SI RIPETE L'OPERAZIONE E COSI' VIA. NELLA MAGGIORANZA DEI CASI SI GIUNGE AD UN NUMERO PALINDROMO, MA VI SONO DEI CASI IN CUI NON SI SA SE SI GIUNGERA' MAI AD UN NUMERO PALINDROMO, COME IL FAMOSO 196.

ORDINE DI UN NUMERO A MODULO P PRIMO. E' IL MINIMO ESPONENTE X TALE CHE A^X E' CONGRUO AD 1 MODULO P.

RADICE PRIMITIVA DI UN NUMERO PRIMO P: E' UN NUMERO A IL CUI ORDINE MODULO P E' (P-1).

MODPOW(A,B,C): E' LA FUNZIONE CHE RESTITUISCE A^B MODULO C

NUMERI TRIANGOLARI: SONO LA SOMMA DEI PRIMI N NUMERI NATURALI. I PRIMI NUMERI TRIANGOLARI SONO: 1,3,6,10.15,21,28,36.....

NUMERI DI MERSENNE: SONO I NUMERI PRIMI DELLA FORMA 2^N - 1. IN TUTTI I NUMERI DI MERSENNE L'ESPONENTE N E' UN NUMERO PRIMO MA SE IN UN NUMERO 2^N - 1 L'ESPONENTE N E' UN NUMERO PRIMO, CIO' NON GARANTISCE AFFATTO CHE 2^N - 1 SIA PRIMO.

DESERTI SENZA PRIMI: SONO VASTE DISTESE DI NUMERI INTERI CONSECUTIVI TRA I QUALI NON VI E' NESSUN NUMERO PRIMO. PER ESEMPIO TRA I NUMERI PRIMI 9551 E 9587 C'E' UN DESERTO DI 35 NUMERI NON PRIMI. MA VI SONO DESERTI BEN PIU' ESTESI. LA DISTRIBUZIONE DEI NUMERI PRIMI RESTA UN MISTERO!

NUMERI DI CHARMICHAEL: PER IL PICCOLO TEOREMA DI FERMAT, SE P E' PRIMO, PER TUTTI GLI A PRIMI CON P, SI HA CHE A^(P-1) E' CONGRUO AD 1 MODULO P. ORA ESISTONO ANCHE ALCUNI NUMERI NON PRIMI (RARI, MA INFINITI) CHE GODONO DI QUESTA PROPRIETA' E VENGONO CHIAMATI I NUMERI DI CHARMICHAEL DAL NOME DEL PRIMO MATEMATICO CHE LI STUDIO'. I PRIMI NUMERI DI CHARMICAEL SONO: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911........

A^3 + B^3 = C^3 + D^3: IL PIU' PICCOLO NUMERO ESPRIMIBILE IN DUE MODI DIVERSI COME SOMMA DI 2 CUBI ESATTI E' 1729, INFATTI:
1729 = 1^3 + 12^3 = 9"3 + 10^3
SEGUONO 4104, 13832, 39312, 46683........

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QUESTO E' L'INDICE DEI PROGRAMMI :

acamod.exe aritmetica modulare
aliquomio sequenze aliquot
amipevb n. amici e perfetti
anadivi numero e somma dei divisori. Abbondanti e deficienti.
anaprim analisi di un n. primo
biquadrvb N = x^2 + y^2 una soluzione
biquagiu N = x^2 + y^2 tutte le soluzioni
carmivb numeri di Charmichael
colivb a congruo a b mod c
collamio Collatz
conichemio coniche
contframio frazione continua di un radicale
cribuo n. primi tra a e b
decbinmio da decimale a binario
dessert deserti senza n. primi
diffqua a^2 - b^2
dio1vb equazione diofantea di 1° grado
diprevb divisione 100 cifre
divimiovb divisori
divrestvb divisione con resto
ducubvb a^3 + b^3 = c^3 + d^3
egimio frazioni egiziane
epeseg N= a*b + a*c + b*c
eramio crivello
evalmio valutatore espressioni numeriche
facred fattorizzatore
factomio fattoriale cifre illimitate
fattomio fattori primi
fibennevb e.mo n. di Fibonacci
fifimio numeri di Fibonacci
formqmio forme quadratiche
ge20vb 20 coppie di n. primi gemelli dopo N
genfrape frazione generatrice
gera2 fraz. generatrici di radical 2
gldb e gldb2 congettura di Goldbach
invmpvb inverso modulo p
kquaku a^2 - b^3 = k
mcdmpho M.C.D e m.c.m.
menoucon x^2 congruo a -1 mod. p
minonrera minimo non residuo quadratico e minima radice primitiva di p
modpov a^ b modulo c (modpow)
multffu varie di teoria dei numeri
nepredi divisione in multiprecisione
nuprivb numero dei n. primi
palivb e pali2vb serie palindromiche (reverse and add)
pellvb equazione di Pell
phivb phi (funzione di Eulero)
pidisp pigreco da serie
pivbmio pigreco cifre illimitate
pm7000 crivello semplice
polipri studio di x^2 +x + 41
prienne ennesimo primo
prifoda n. primi di forma data
prinextvb nextprime
quabicub a^2 = b^3 + c^3
quanote somme eguali di quadrati consecutivi
radimia radice quadrata
raprivb tutte le radici primitive di p
renore residui e non residui quadratici di p
resnonres verifica se a è residuo o non residuo di p
segramio secondo grado
siglimio singola linea del triangolo di Tartaglia-Pascal
sistmio sistemi di equazioni
sogevb numeri di Sophie Germain
soquo 1^2 + 2^2 + 3^2 + ....... N^2
sosse serie (1/(a^n))
stinupri stima del numero dei n. primi
studinterva studio di un intervallo
teiniz forme quadratiche
tuttexp resti di a^j modulo p
tuttinve tutte le coppie di inversi di N
tuttord ordine di tutti gli a inferiori a p
tvlvb N = x^2 + y^2 tavola
tepiprim terne pitagoriche primitive
testprvb test di primalità
tregrabuo e trgramio terzo grado
trequavb N = x^2 + y^2 + z^2
trequax P = x^2 + y^2 P^2 = x^2 + y^2 P^3 = x^2 + y^2
triavb numeri triangolari
triquavb n. triangolari che sono quadrati esatti
tritarvb triangolo di Tartaglia - Pascal
tuquacu a^2 - b^3 = k
unapit singola terna pitagorica
unosup periodo di 1/P
variecost costanti varie
vbmerse test di Lucas
vbpart partizioni di N
verordvb ordine di a modulo p
zequcobvb z^2 congruo a b modulo p

Su questo sito potete scaricare il programma gratuito NUMBER THEORY CALCULATOR:
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Su questo sito si può scaricare in fondo alla pagina il file zip completo di indice dei programmi:

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